Numerical-methods Labs

Lab1

1. Применить схему единственного деления метода Гаусса (учитывая контроль!) найти решение $\overline{x^{\star}}$, следующего СЛАУ $A\overline{x}=\overline{f}$
2. Вычислить $\left| \overline{r} \right|_{\infty,1,2}=\left| A\overline{x}^*-\overline{f} \right|_{\infty,1,2}$
3. Применяя преобразования метода Гаусса вычислить $detA$
4. Вычислить $\left| A \right|_{\infty,1}$

$$(D+KC)*\overline{x}=\overline{f}$$

$$ K=2 $$

$$ D = \begin{bmatrix} 6.22 & 1.42 & -1.72 & 1.91 \\ 1.44 & 5.33 & 1.11 & -1.82 \\ -1.72 & 1.11 & 5.24 & 1.42 \\ 1.91 & -1.82 & 1.42 & 6.55 \\ \end{bmatrix} ~~ С = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f} = \begin{pmatrix} 7.53 & 6.06 & 8.05 & 8.06 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

$$ A = D+KC $$

Lab2

1. Применить схему единственного деления метода Гаусса найти $A^{-1}$, где $A$ - матрица из Lab1
   Приверить равенство $AA^{-1}=E$
2. $condA = \left| A \right|_{\infty,1}\left| A^{-1} \right|_{\infty,1}$

Lab3

Методом квадратных корней найти решение СЛАУ: $A\overline{x}=\overline{f}$

1. Проверить является ли матрици системы $A=A^{T}>0$, если да, то
2. Разложить $A=LL^{T}$
3. $L\overline{y}=\overline{f}$, $L^{T}\overline{x}=\overline{y}$ (применить обратный ход метода Гаусса) - найти $x$
4. Вычислить $\left| \overline{r} \right|_{\infty,1,2}=\left| A\overline{x}^{*} - f \right|_{\infty,1,2}$

$$ A = \begin{bmatrix} 3.3 & 1 & 2.1 \\ 1 & 3.8 & 2.1 \\ 2.1 & 2.1 & 4.4 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f} = \begin{pmatrix} 2.1 & 1 & 1.1 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

Lab4

1. Привести СЛАУ $A\overline{x}=\overline{f}$ к системе с диагональным преобладанием.
2. Построить сходящийся итерационный процесс и найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ решение методом Якоби.
3. Вывести все итерации ${\overline{x}^{(n)}}$ , проверить $\left| A\overline{x}^{(n)} - \overline{f} \right|_{\infty} <= ε$ .

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0.2 \\ 0.2 & 5 & 0.72 \\ -1.2 & 3 & 1.7 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f} = \begin{pmatrix} -2.9 & -0.7 & -9.86 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

Lab5

1. Методом Зейделя найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ решение СЛАУ из Lab4.
2. Вывести все итерации ${\overline{x}^{(n)}}$ .
3. Проверить $\left| \overline{r} \right|_{\infty}=\left| A\overline{x}^{(n)} - \overline{f} \right|_{\infty} <= ε$ .