Numerical-methods Labs

Lab1

1. Применить схему единственного деления метода Гаусса (учитывая контроль!) найти решение $\overline{x^{\star}}$, следующего СЛАУ $A\overline{x}=\overline{f_s}$
2. Вычислить $\left| \overline{r} \right|_{\infty,1,2}=\left| A\overline{x}^*-\overline{f_s} \right|_{\infty,1,2}$
3. Применяя преобразования метода Гаусса вычислить $detA$
4. Вычислить $\left| A \right|_{\infty,1}$

$$(D+KC)*\overline{x}=\overline{f_s}$$

$$ K=2 $$

$$ D = \begin{bmatrix} 6.22 & 1.42 & -1.72 & 1.91 \\ 1.44 & 5.33 & 1.11 & -1.82 \\ -1.72 & 1.11 & 5.24 & 1.42 \\ 1.91 & -1.82 & 1.42 & 6.55 \\ \end{bmatrix} ~~ С = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f_s} = \begin{pmatrix} 7.53 & 6.06 & 8.05 & 8.06 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

$$ A = D+KC $$

Lab2

1. Применить схему единственного деления метода Гаусса найти $A^{-1}$, где $A$ - матрица из Lab1
   Приверить равенство $AA^{-1}=E$
2. $condA = \left| A \right|_{\infty,1}\left| A^{-1} \right|_{\infty,1}$

Lab3

Методом квадратных корней найти решение СЛАУ: $A\overline{x}=\overline{f_s}$

1. Проверить является ли матрици системы $A=A^{T}>0$, если да, то
2. Разложить $A=LL^{T}$
3. $L\overline{y}=\overline{f_s}$, $L^{T}\overline{x}=\overline{y}$ (применить обратный ход метода Гаусса) - найти $x$
4. Вычислить $\left| \overline{r} \right|_{\infty,1,2}=\left| A\overline{x}^{*} - f_s \right|_{\infty,1,2}$

$$ A = \begin{bmatrix} 3.3 & 1 & 2.1 \\ 1 & 3.8 & 2.1 \\ 2.1 & 2.1 & 4.4 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f_s} = \begin{pmatrix} 2.1 & 1 & 1.1 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

Lab4

1. Привести СЛАУ $A\overline{x}=\overline{f_s}$ к системе с диагональным преобладанием.
2. Построить сходящийся итерационный процесс и найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ решение методом Якоби.
3. Вывести все итерации ${\overline{x}^{(n)}}$ , проверить $\left| A\overline{x}^{(n)} - \overline{f_s} \right|_{\infty} <= ε$ .

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0.2 \\ 0.2 & 5 & 0.72 \\ -1.2 & 3 & 1.7 \\ \end{bmatrix} ~~ \overline{f_s} = \begin{pmatrix} -2.9 & -0.7 & -9.86 \\ \end{pmatrix}^{T} $$

Lab5

1. Методом Зейделя найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ решение СЛАУ из Lab4.
2. Вывести все итерации ${\overline{x}^{(n)}}$ .
3. Проверить $\left| \overline{r} \right|_{\infty}=\left| A\overline{x}^{(n)} - \overline{f_s} \right|_{\infty} <= ε$ .

Lab6

1. Привести матрицу $A$ к канонической форме Фробениуса. Проверить, что $p_{1} = S_{p}A$ .
2. Выписать характеристический полином и найти его решение.
3. Для собственных значений найти собственные векторы матрицы Фробениуса и собственные векторы матрицы $A$.
4. Проверить $S^{-1}AS\overline{y} = λ\overline{y}$ ; $A\overline{x} = λ\overline{x}$ .

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1.2 & 2 & 0.5 \\ 1.2 & 1 & 0.4 & 1.2 \\ 0 & 0.4 & 2 & 1.5 \\ 0.5 & 1.2 & 1.5 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Lab7

Методом вращений найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ собственные значения и собственные векторы матрицы A

1. Вывести матрицы $\left\{ A_{k } \right\}$. Проверить $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = S_{p}A$
2. $T = T_{ij}^{(1)}(\phi) * T_{ij}^{(2)}(\phi) * ... * T_{ij}^{(n)}(\phi)$
3. Вычислить $\overline{x}^{(k)} = \frac{\overline{y}^{(k)}}{\left| \overline{y}^{(k)} \right|_{\infty}}$ $k = 1,2,3$
4. Проверить $A\overline{x}^{(i)} = λ_{i}\overline{x}^{(i)}$

$$ A = \begin{bmatrix} 2.1 & 1 & 1.1 \\ 1 & 2.6 & 1.1 \\ 1.1 & 1.1 & 3.1 \\ \end{bmatrix} $$

Lab8

Итерационным степенным методом найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ максимальное по модулю собственное значение матрицы A и соответствующий ему собственный вектор, где матрица А - матрица из Lab7. Сравнить результаты Lab7 и Lab8.

Lab9

Методом простых итераций найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-4}$ все действительные корни нелинейного уравнения:

$$x^3 + sin(x) -12x +1 =0$$

1. $x_{0}$ определить графически.
2. Проверить выполнение теоремы об условиях сходимости.
3. Вывести все итерации $\left\{ x_{n} \right\}$ , проверяя $\left| x_{n+1} - x_{n} \right|\ <= ε$ .
4. Проверить $f_s(x_{n}) = ε$ .

Lab10

Методом Ньютона найти с точностью $ε = 0.5 * 10^{-5}$ все действительные корни нелинейного уравнения:

$$x^4 - 4x^3 + 5.98x^2 - 3.96x + 0.09801 = 0 $$

1. $x_{0}$ определить графически.
2. Проверить выполнение теоремы Кантаровича.
3. Вывести все итерации $\left\{ x_{n} \right\}$ , проверяя $\left| x_{n+1} - x_{n} \right|\ <= ε$ .
4. Проверить $f_s(x_{n}) = ε$ .