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Fix(lean,#17357): KNOTS-02 -- 3 faux positifs (audit perime) + 3 constats confirmes (s, sections, ancrage) #20139

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Fix(lean,#17357): KNOTS-02 -- 3 faux positifs (audit perime) + 3 constats confirmes (s, sections, ancrage) #20139

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95 changes: 61 additions & 34 deletions MyIA.AI.Notebooks/SymbolicAI/Lean/KNOTS/KNOTS-02-Invariants-Python.ipynb
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Expand Up @@ -587,7 +587,10 @@
"1. **Fox-Milnor (1958) + Freedman (1982)** : La condition nécessaire de Fox-Milnor $\\Delta_K(t) = f(t) f(t^{-1})$ est satisfaite (car $\\Delta = 1$ trivialement, $f(t) = 1$) ; la chirurgie topologique fonctionnant en dimension 4 (Freedman 1982) montre alors que $K$ est **topologiquement slice**\n",
"2. **Conway et K-T** ont tous les deux $\\Delta(t) = 1$ → tous les deux topologiquement slice\n",
"3. **Mais** : sliceness lisse ne se déduit pas du polynôme d'Alexander seul\n",
"4. **Piccirillo (2020)** : via l'invariant $s$ de Rasmussen, Conway n'est PAS lisse\n",
"4. **Piccirillo (2020)** : Conway n'est **PAS** lisse — mais pas par un calcul direct de $s$\n",
" sur Conway, qui vaut $0$ (comme pour K-T, son mutant slice) et ne dirait donc rien.\n",
" Elle exhibe un nœud **compagnon** de même trace $0$-framée, sur lequel $s$ détecte la\n",
" non-sliceness, puis transporte l'obstruction par le lemme d'immersion de trace\n",
"\n",
"Le polynôme d'Alexander trivial est à la fois une **bénédiction** (slice topologique)\n",
"et un **leurre** (il ne dit rien sur la slicesse lisse).\n"
Expand Down Expand Up @@ -661,34 +664,13 @@
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "exercise-1-intro",
"metadata": {
"papermill": {
"duration": 0.018464,
"end_time": "2026-10-07T17:51:42.900226+00:00",
"exception": false,
"start_time": "2026-10-07T17:51:42.881762+00:00",
"status": "completed"
},
"tags": []
},
"id": "sec-5-1-slice-genus",
"metadata": {},
"source": [
"## 6. Visualisations Avancées des Invariants\n",
"### 5.1. Genre de slice ($g_4$) — le tableau des invariants 4D\n",
"\n",
"Cette section ajoute des visualisations 2D et des tableaux comparatifs pour les invariants\n",
"qui nécessitent des outils plus avancés (homologie de Khovanov, tangles de Conway, genus 4D).\n",
"\n",
"***\n",
"\n",
"## 7. Exercices\n",
"\n",
"### Exercice 1 — Volume d'un nœud torique\n",
"\n",
"Calculez le volume hyperbolique du nœud torique $T(2,3)$ (qui est aussi le trèfle)\n",
"via SnapPy. Le trèfle est-il hyperbolique ? Pourquoi ?\n",
"\n",
"**Indice** : Un nœud est hyperbolique s'il n'est ni un nœud torique ni un nœud satellite.\n",
"Les nœuds toriques ont un complément qui n'est PAS hyperbolique."
"Le genre de slice $g_4$ mesure ce que le polynôme d'Alexander ne voit pas :\n",
"il sépare les deux mutants là où $\\Delta$, Jones et la signature sont d'accord.\n"
]
},
{
Expand Down Expand Up @@ -791,6 +773,26 @@
"print(\">>> Conway et K-T partagent Δ=1 mais diffèrent sur g_4 lisse!\")"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "exercise-1-intro",
"metadata": {
"papermill": {
"duration": 0.018464,
"end_time": "2026-10-07T17:51:42.900226+00:00",
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"status": "completed"
},
"tags": []
},
"source": [
"## 6. Visualisations Avancées des Invariants\n",
"\n",
"Cette section ajoute des visualisations 2D et des tableaux comparatifs pour les invariants\n",
"qui nécessitent des outils plus avancés (homologie de Khovanov, tangles de Conway, genus 4D).\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e9da5690",
Expand Down Expand Up @@ -1505,11 +1507,20 @@
"- L'obstruction de Fox-Milnor (polynôme d'Alexander) donnait déjà ce résultat\n",
"- Khovanov est **surdimensionnée** pour le trèfle\n",
"\n",
"**Pour Conway vs K-T** :\n",
"**Pour Conway vs K-T** — le piège que ce couple tend, et qu'il faut nommer :\n",
"- Le polynôme de Jones est **identique** pour Conway et K-T (mutants)\n",
"- L'homologie de Khovanov est **aussi** identique (mutants ont même KH)\n",
"- MAIS l'invariant $s$ de Rasmussen se calcule via Khovanov et donne $s(K11n34) = 2$, $s(K11n42) = 0$\n",
"- **C'est l'invariant $s$ (pas KH directement) que Piccirillo utilise en 2020**\n",
"- L'homologie de Khovanov est **aussi** identique : les mutants ont la même $KH$\n",
"- L'invariant $s$ se **calcule depuis** cette homologie. Il est donc le même pour les deux :\n",
" $s(K11n34) = s(K11n42) = 0$. Comme K-T **est** slice, $0$ est exactement la valeur\n",
" « compatible avec la sliceness » — le nœud de Conway l'obtient aussi, et l'invariant **se tait**\n",
"- **Ce silence est le cœur du problème.** Ni $s$, ni $\\tau$, ni Alexander, ni Jones, ni la\n",
" signature ne séparent Conway de K-T : c'est pourquoi la question est restée ouverte ~50 ans.\n",
" Un invariant qui répondrait « Conway n'est pas slice » se tromperait aussi sur K-T, qui l'est\n",
"- Piccirillo ne conclut donc **pas** en calculant $s$ sur le nœud de Conway. Elle construit un\n",
" nœud **compagnon** $K^*$ qui a la **même trace $0$-framée** que Conway, et c'est sur $K^*$\n",
" que $s$ **parle** : $s(K^*) \\neq 0$ prouve que $K^*$ n'est pas slice. Un nœud est slice si et\n",
" seulement si sa trace s'immerge dans $B^4$ ; la trace étant commune, l'obstruction remonte\n",
" à Conway\n",
"\n",
"**Note** : pyknotid (librairie Python) peut calculer Khovanov pour des nœuds simples, mais\n",
"échoue sur K11n34/K11n42 (trop complexe, 11 croisements). Les valeurs ici sont extraites\n",
Expand Down Expand Up @@ -1687,6 +1698,22 @@
"- Cette théorie a motivé l'étude des **nœuds algébriques** et des **tangles de Montesinos** (plus général que rationnel)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "sec-7-exercices",
"metadata": {},
"source": [
"## 7. Exercices\n",
"\n",
"### Exercice 1 — Volume d'un nœud torique\n",
"\n",
"Calculez le volume hyperbolique du nœud torique $T(2,3)$ (qui est aussi le trèfle)\n",
"via SnapPy. Le trèfle est-il hyperbolique ? Pourquoi ?\n",
"\n",
"**Indice** : Un nœud est hyperbolique s'il n'est ni un nœud torique ni un nœud satellite.\n",
"Les nœuds toriques ont un complément qui n'est PAS hyperbolique."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 14,
Expand Down Expand Up @@ -2020,15 +2047,15 @@
"|------|-----------|-------------|-----------|--------|---------------|\n",
"| 3_1 (Trèfle) | $t - 1 + t^{-1}$ | 3 | -2 | — | Non |\n",
"| 4_1 (Huit) | $-t + 3 - t^{-1}$ | 5 | 0 | 2.029 | Oui |\n",
"| K11n34 (Conway) | **1** | 1 | 0 | — | **NON** (Piccirillo) |\n",
"| K11n42 (K-T) | **1** | 1 | 0 | — | **OUI** |\n",
"| K11n34 (Conway) | **1** | 1 | 0 | 11.219 | **NON** (Piccirillo) |\n",
"| K11n42 (K-T) | **1** | 1 | 0 | 11.219 | **OUI** |\n",
"| K11n102 (Lidman) | $-t^2 + t + 1 + t^{-1} - t^{-2}$ | 3 | -2 | 7.244 | ? |\n",
"\n",
"**Points clés** :\n",
"- SnapPy calcule le volume hyperbolique nativement (C++ inside)\n",
"- Les polynômes (Alexander, Jones) nécessitent SageMath (`Link.alexander_polynomial()` via Sage)\n",
"- La dichotomie Conway/K-T illustre que le polynôme d'Alexander seul ne suffit pas\n",
"- L'invariant $s$ de Rasmussen (homologie de Khovanov) est nécessaire pour la sliceness lisse\n",
"- L'invariant $s$ de Rasmussen **ne sépare pas** ce couple : il vaut $0$ pour Conway comme pour K-T (mutants, même homologie de Khovanov). Piccirillo le fait parler sur un nœud **compagnon** de même trace $0$-framée, pas sur le nœud de Conway\n",
"\n",
"## Références\n",
"\n",
Expand Down
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