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MyIA.AI.Notebooks/Probas/DecisionTheory/DecPyMC/DecPyMC-9-Prime-Pure-Chargement.ipynb

@@ -117,6 +117,13 @@
     "print(f\"Prime de risque            = {prime_risque:9.1f} EUR\")"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : La prime de risque de 10,9 EUR reflète l'aversion au risque de l'assuré (ρ = 0,5) : il accepte de renoncer à 10,9 EUR d'espérance de gain pour éviter l'incertitude."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "5ee92c70",
@@ -214,6 +221,13 @@
     "    print(f\"{nom:<12} {p['lam']:>9.2f} {p['mediane_S']:>10.0f} {p['E_S']:>12.0f} {p['pi']:>12.0f}\")"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : Les primes pures calculées — 1 439 EUR pour l'auto et 8 241 EUR pour la RC médicale — illustrent l'impact conjoint de la fréquence et de la sévérité des sinistres sur le coût annuel par assuré."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "a8d2f8c9",
@@ -306,6 +320,13 @@
     "          f\"Q95(Y) = {np.quantile(Y, 0.95):>9.0f} | Q99.5(Y) = {np.quantile(Y, 0.995):>10.0f} | pi = {p['pi']:.0f}\")"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : La simulation révèle que pour A_auto, 32,2 % des années dépassent la prime pure, avec un quantile 95 à 5 951 EUR, tandis que pour B_rc_med, seulement 5 % des années la dépassent, mais avec un quantile 95 à 7 866 EUR, montrant la forte asymétrie et le risque extrême de la RC médicale."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "23525ed4",
@@ -470,6 +491,13 @@
     "print(f\"Sévérités mature (EUR) : min {sev_obs_mature.min():>9.0f} | médiane {np.median(sev_obs_mature):>10.0f} | max {sev_obs_mature.max():>10.0f}\")"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : Les historiques synthétiques montrent que B_jeune (3 ans, 9 sinistres) et B_mature (30 ans, 87 sinistres) partagent la même vérité sous-jacente (λ = 0,05), mais avec des profondeurs d'observation très différentes qui influencent la précision des estimations."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "3326c4be",
@@ -633,6 +661,13 @@
     "Faisons de même pour la sévérité :"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : Le modèle de fréquence bayésien avec a priori Gamma montre que pour B_jeune, λ est estimé à 0,0499 avec un intervalle éti89 de 0,029 à 0,075, tandis que pour B_mature, λ est estimé à 0,0485 avec un intervalle plus étroit de 0,040 à 0,058, illustrant le gain de précision avec plus de données."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": 7,
@@ -782,6 +817,13 @@
     "Les diagnostics ArviZ sont propres (ESS élevé, $\\hat{r} \\approx 1{,}00$) : les deux chaînes convergent, les posteriors sont exploitables. La sévérité du jeune cabinet (une poignée de sinistres) garde une incertitude marquée sur $\\sigma$ — le paramètre qui pilote la queue de distribution, donc les sinistres extrêmes. Il ne reste qu'à propager ces deux incertitudes vers la quantité qui intéresse l'assureur : la prime pure $\\pi = \\lambda \\, e^{\\mu + \\sigma^2/2}$."
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : le modèle de sévérité bayésien estime μ (échelle log) à 11.34 ± 0.4 pour B_jeune et 11.271 ± 0.103 pour B_mature — la même vérité sous-jacente des deux côtés, mais l'écart-type jeune est presque quatre fois plus large (0.4 contre 0.103), l'incertitude de 9 sinistres contre 87."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": 8,
@@ -871,6 +913,13 @@
     "Le régime bayésien transforme la prime pure en **distribution** : le cabinet mature la connaît à quelques dizaines de pourcents près, le jeune cabinet nettement moins bien (lisez les CV dans la sortie). Autrement dit, pour le jeune cabinet, tarifer à la moyenne c'est accepter une chance sur vingt d'être sous-tarifé de la moitié de la prime. Et la distribution raconte une seconde histoire : le posterior mature est bien centré sur la valeur vraie (pointillé), celui du jeune cabinet est à la fois plus large et décalé ici vers le haut — neuf sinistres observés dont la médiane (104 k EUR) dépasse la médiane vraie (90 k) suffisent à décaler l'estimation. L'incertitude d'un petit historique n'est pas que de la dispersion, c'est aussi un risque de biais d'échantillonnage : tarifer sur trois ans d'expérience, c'est accepter les deux. La question devient commerciale : **comment fixer le chargement quand la volatilité de $\\pi$ est grande ?**"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : Le régime bayésien transforme la prime pure en distribution : B_jeune présente un coefficient de variation de 0,90 (forte incertitude) contre 0,17 pour B_mature, reflétant l'impact de la profondeur de l'historique sur la stabilité de l'estimation."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "a5d1eb4f",
@@ -960,6 +1009,13 @@
     "L'écart entre les deux conventions (~16 EUR par contrat A_auto, ~91 EUR par contrat B_rc_med) paraît anecdotique ; sur 100 000 contrats il représente plus d'un million et demi d'euros par an. La convention n'est jamais neutre et doit être contractuellement fixée. Mais la vraie question est celle du **niveau** de $c$ : la décomposition 5/3/2 ci-dessus suppose un portefeuille à incertitude maîtrisée. Que se passe-t-il quand l'incertitude d'estimation est celle du jeune cabinet ?"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : La décomposition du chargement montre que pour A_auto, l'écart entre conventions est de 16 EUR, tandis que pour B_rc_med, il est de 91,6 EUR, reflétant la différence d'échelle des primes entre les deux portefeuilles."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": 10,
@@ -1032,6 +1088,13 @@
     "Le chargement de sécurité ne coûte pas la même chose selon le portefeuille : pour intégrer le risque d'estimation (incertitude sur les paramètres $\\lambda, \\mu, \\sigma$ reflétée dans la largeur du posterior de $\\pi$), le cabinet **mature** a besoin d'un chargement de sécurité modéré, le **jeune** cabinet de nettement plus — son ignorance est plus chère (comparez les lignes Q95 dans la sortie). Le message central de ce notebook : **le chargement n'est pas qu'une marge**. Il couvre simultanément (i) l'incertitude d'*estimation* — le régime bayésien de la section 3 —, (ii) la provision pour la volatilité résiduelle, (iii) les frais, (iv) la marge. C'est aussi par cette porte qu'entre la question de la ruine (quel capital immobiliser, volet T4 de l'EPIC #12904) : un tarif fixé au Q95 du posterior de $\\pi$ laisse 5% de probabilité postérieure que la prime pure sous-jacente $\\pi$ dépasse ce tarif (incertitude d'*estimation*, intra-posterior) — ce qui n'est PAS la même chose que 5% des années en perte technique : la probabilité annuelle que le coût réel $Y$ dépasse la prime tarifiée relève de l'incertitude de *processus* (variabilité intra-annuelle des $S$ composée avec le processus de fréquence $N$), et sa propagation complète demanderait de convoluer cette variabilité intra-annuelle avec l'incertitude inter-annuelle des paramètres, ce qui relève de la ruine (volet T4 de l'EPIC #12904)."
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : le chargement de sécurité qui couvre le quantile 95 du posterior de $\\pi$ s'élève à **138,9 %** de la prime pure moyenne pour B_jeune — soit une prime associée de **29 420 EUR** assise sur 12 315 EUR de prime pure — contre **30,5 %** pour B_mature (8 304 EUR sur 6 363 EUR) : à quantile de sécurité égal, le chargement relatif du jeune cabinet est **4,6 fois** plus élevé (138,9 / 30,5). Les deux primes pures restent pourtant dans le même ordre de grandeur — ce qui les sépare est la **profondeur d'historique**, pas le risque sous-jacent : la colonne `c_securite` est un pourcentage de chargement, la prime associée seule est en euros."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "0fcb974e",
@@ -1190,6 +1253,13 @@
     "La décision tarifaire diffère par régime : pour A_auto (paramètres stabilisés par le volume), le chargement commercial standard suffit ; pour le cabinet jeune, le chargement de sécurité nécessaire écrase la décomposition 5/3/2 — tarifer au standard, c'est subir un risque de sous-tarification systématique. Mais monter le chargement a un coût de marché : avant de conclure « gros chargement », il faut regarder la demande. C'est la **sensibilité au chargement** :"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : le tableau de décision tarifaire donne une prime commerciale à 10 % de 1 599 EUR pour A_auto en régime fréquentiste (paramètres connus, pas de chargement d'incertitude) contre 13 683 EUR pour B_rc_jeune en régime bayésien (CV = 90 %, c_securite_Q95 = 139) — la différence de maturité se lit dans le chargement de sécurité, pas dans la prime pure seule."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": 13,
@@ -1266,6 +1336,13 @@
     "Trop bas, le chargement laisse l'assureur en perte technique trop souvent ; plus il monte, plus la marge par tête croît — *dans un monde où l'assuré reste*. Mais l'assuré n'est pas captif : si le prix dépasse sa disposition à payer, il résilie, et ce sont les **moins risqués** qui partent les premiers (ils trouvent mieux ailleurs, et ils y ont le plus intérêt). Simulons cette spirale d'antisélection, miroir exact du marché des citrons de GT-17a :"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : à chargement nul, P(coût > prime) = 5.0 % (imprimé en section 2 : P(Y>pi) = 0.050 pour B_rc_med) ; à c = 10 % (ligne pointillée), la prime facturée devient pi/(1−c) ≈ 9 157 EUR, soit une marge de ≈ 916 EUR par tête — et comme 9 157 se situe entre le Q95 (7 866) et le Q99.5 (362 316), la probabilité de perte technique chute sous 5 % : le graphique ne l'imprime pas, il la montre."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": 14,
@@ -1344,6 +1421,13 @@
     "Le prix au mélange dépasse immédiatement la disposition à payer des bons risques : ils partent, le portefeuille restant se dégrade, la prime pure du mélange monte, et le prix suit — jusqu'à un pool composé presque uniquement de mauvais risques, tarifé environ trois fois la prime pure initiale des bons. **Tarifer au mélange sans information, c'est organiser la sélection adverse contre soi-même** : c'est exactement le diagnostic d'Akerlof (GT-17a), relu du côté assureur. La réponse du marché — des gammes de contrats qui séparent les types (franchise contre prime réduite, bonus-malus) — est le screening de Rothschild-Stiglitz et Wilson traité par GT-17b. La théorie de la décision fournit le *prix* ; la théorie des jeux explique pourquoi un seul prix ne suffit pas."
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**Lecture ancrée** : la spirale d'antisélection sur les six tours imprimés : la part des bons risques tombe de 0.500 à 0.025, le prix au mélange monte de 9 889 à 14 584 EUR et la prime commerciale de 10 988 à 16 205 EUR — dès le tour 0, la prime (10 988 EUR) dépasse déjà la disposition à payer d'un bon risque (6 180 EUR/an, imprimée en tête) : chaque tour accentue l'éviction sans l'achever dans la table (2,5 % de bons restent au tour 5)."
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "2deb4106",
@@ -1472,4 +1556,4 @@
  },
  "nbformat": 4,
  "nbformat_minor": 5
-}
+}