fix(pedagogy,#13410): relay g52-math-3 — Serre100 05-table-de-caracteres (contradiction C2/C3, 3 correctifs)

MyIA.AI.Notebooks/SymbolicAI/Lean/Serre100/05-table-de-caracteres.ipynb

@@ -492,6 +492,21 @@
     "print(\"Somme des carres sur la colonne transpositions :\", carres, \"= 24 / 6 = |G|/|C|\")"
    ]
   },
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+     "lecture-ancree"
+    ]
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+   "source": [
+    "**Lecture ancrée : Construction et validation des tables de caractères pour S₃ et S₄ par la règle de Murnaghan-Nakayama**\n",
+    "\n",
+    "Les cellules de code précédentes ont construit les tables de caractères complètes pour les groupes symétriques S₃ et S₄ en utilisant la règle de Murnaghan-Nakayama, puis ont validé leur structure par les relations d'orthogonalité. La table de S₃, avec ses 3 partitions (3,), (2,1) et (1,1,1) comme lignes et ses 3 classes de conjugaison (1,1,1), (2,1), (3,) comme colonnes, montre explicitement que la représentation standard (2,1) donne les valeurs [2, 0, -1], ce qui correspond exactement à la formule théorique (nombre de points fixes - 1) pour chaque classe : pour l'identité (3 points fixes) on obtient 2, pour une transposition (1 point fixe) on obtient 0, et pour un 3-cycle (0 points fixes) on obtient -1. De même, la représentation signe (1,1,1) donne [1, -1, 1], correspondant parfaitement à la formule (-1)^(n-cyc) où n-cyc est le nombre de cycles dans la permutation. Pour S₃ : identité (3 cycles) → (-1)^(3-3) = 1, transposition (2 cycles) → (-1)^(3-2) = -1, 3-cycle (1 cycle) → (-1)^(3-1) = 1, ce qui correspond exactement aux valeurs calculées par la règle de Murnaghan-Nakayama.\n",
+    "\n",
+    "L'orthogonalité des lignes est vérifiée explicitement : la matrice des produits scalaires <χᵢ, χⱼ> = |G|⁻¹ ∑ₖ |Cₖ| χᵢ(Cₖ) χⱼ(Cₖ) est diagonale avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs, ce qui confirme que les représentations irréductibles sont bien orthogonales entre elles. Les degrés [1, 2, 1] vérifient bien la relation fondamentale ∑ᵢ dᵢ² = |G| = 6, ce qui est une propriété essentielle de la théorie des représentations des groupes finis. Pour S₄, la construction s'étend naturellement à 5 classes de conjugaison et 5 représentations irréductibles (les partitions de 4), avec des degrés [1, 3, 2, 3, 1] qui vérifient également ∑dᵢ² = 24 = |S₄|. Les 15 paires de lignes (triangle supérieur + diagonale) et les 25 couples de colonnes (toutes les paires ordonnées) confirment toutes les relations d'orthogonalité, y compris la relation des colonnes ∑ᵢ χᵢ(C) χᵢ(C') = (|G|/|C|) δ_{CC'}, avec par exemple la somme des carrés sur la colonne des transpositions (taille 6) valant 4 = 24/6, ce qui démontre que la table est correcte et complète pour le groupe symétrique S₄."
+   ]
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@@ -845,6 +860,21 @@
     "print(\"   2T/[2T,2T] = 2T/Q8 = C3, donc TROIS caracteres lineaires 1, w, w^2\")"
    ]
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+    "tags": [
+     "lecture-ancree"
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+    "**Lecture ancrée : Structure et représentation du groupe binaire tétraédral 2T**\n",
+    "\n",
+    "Le groupe binaire tétraédral 2T, construit comme l'union du groupe des quaternions Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k} et des 16 demi-sommets de la forme (±1 ± i ± j ± k)/2, est un groupe d'ordre 24 qui contient Q₈ comme sous-groupe normal d'indice 2. La vérification par brute force de la fermeture du produit sur 24×24 = 576 paires confirme que 2T est bien un groupe : pour tout g, h ∈ 2T, le produit qmul(g, h) reste dans 2T. Les ordres des éléments présents sont {1, 2, 3, 4, 6}, avec les éléments d'ordre 1 (l'identité), d'ordre 2 (le centre {1, -1}), d'ordre 4 (les 6 éléments de la forme ±i, ±j, ±k), et les éléments d'ordre 6 et 3 (les demi-sommets). La conjugaison brute force identifie exactement 7 classes de conjugaison dans 2T, avec des tailles respectives [1, 1, 4, 4, 4, 4, 6] : deux singletons {1} et {-1} formant le centre, une classe de taille 6 pour les éléments d'ordre 4 (représentant -i), et quatre classes de taille 4 pour les éléments d'ordre 6 et 3 (représentants : les demi-sommets (1-i-j±k)/2 d'ordre 6 et (-1-i-j±k)/2 d'ordre 3).\n",
+    "\n",
+    "L'abélianisation 2T → C₃ se fait via le morphisme φ : 2T → Z/3 défini par classes latérales de Q₈ : φ(g) = 0 si g ∈ Q₈, φ(g) = 1 si g ∈ coset_e = e·Q₈ où e = (1+i+j+k)/2, et φ(g) = 2 si g ∈ coset_e² = e·coset_e. La partition en 3×8 éléments (Q₈, coset_e, coset_e²) est disjoint et couvre tout le groupe, et la vérification sur 24×24 produits confirme que φ est bien un morphisme de groupes. Le noyau de φ est exactement Q₈ (les éléments où φ = 0), et l'image est Z/3, ce qui donne l'isomorphisme 2T/[2T,2T] = 2T/Q₈ = C₃, donc exactement trois caractères linéaires (de degré 1) : le caractère trivial 1, et les deux caractères ω et ω² où ω est une racine primitive troisième de l'unité dans Q(sqrt(-3)). Cette abélianisation montre que le groupe dérivé [2T,2T] = Q₈, et que 2T possède exactement 3 représentations de degré 1. La structure de 2T comme extension de Q₈ par C₃ est ainsi clairement mise en évidence par ces constructions algébriques explicites."
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@@ -1113,6 +1143,17 @@
     "print(\"  sum |C| |twist|^2 =\", n2)"
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+    "**Lecture ancrée : Table de caractères complète de 2T sur Q(sqrt(-3)) et relations d'orthogonalité**\n\nLa table de caractères complète de 2T, de taille 7×7 avec 7 classes de conjugaison et 7 représentations irréductibles, est construite sur le corps Q(sqrt(-3)) car certaines valeurs de caractères ne sont pas rationnelles. Les 7 représentations se décomposent en : 3 caractères linéaires (de degré 1) w^j pour j = 0, 1, 2, où w = (-1 + sqrt(-3))/2 est une racine primitive troisième de l'unité vérifiant w² = conj(w) = (-1/2, -1/2), 1 + w + w² = 0, et w × conj(w) = 1 ; 3 twists du caractère naturel par w^j (de degré 2 chacun) ; et une représentation de degré 3 correspondant à la rotation SO(3) portée par les quaternions, avec caractère χ₃(q) = 4a² - 1 où q = (a, b) ∈ Q(sqrt(-3)). Les degrés [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3] vérifient bien la relation fondamentale ∑ᵢ dᵢ² = 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 9 = 24 = |2T|, ce qui est cohérent avec la théorie des représentations qui stipule que la somme des carrés des degrés des représentations irréductibles est égale à l'ordre du groupe.\n\nLe caractère naturel χ_nat de 2T, défini comme la trace de la représentation 2×2 sur Q(i) par χ_nat(q) = 2a où q = (a, b, c, d), donne les valeurs [2, -2, 0, 1, 1, -1, -1] par classe, avec les classes correspondant respectivement aux tailles [1, 1, 6, 4, 4, 4, 4] et aux ordres [1, 2, 4, 6, 6, 3, 3]. La contribution du caractère naturel à la somme des carrés des degrés est d_nat² = 4, et les twists χ_nat × w^j sont bien orthogonaux au caractère naturel lui-même, comme le montre le produit scalaire nul ∑|C| χ_nat(C) · conj(χ_twist(C)) = 0. De plus, la norme du twist vaut exactement 24, confirmant que chaque twist est bien une nouvelle représentation irréductible distincte. Les 49 paires de lignes de la table vérifient toutes les relations d'orthogonalité avec conjugaison (a, -b) sur Q(sqrt(-3)) : ∑|C| χᵢ(C) · conj(χⱼ(C)) = 24 δᵢⱼ, ce qui valide complètement la construction de la table de caractères de 2T sur ce corps quadratique. Cette validation exhaustive confirme que les valeurs calculées sont exactes et que la décomposition en irréductibles est correcte, ce qui conclut la démonstration de la structure des représentations du groupe binaire tétraédral 2T. On remarque également que la représentation 3-dimensionnelle correspond à l'action de 2T sur la sphère S² par rotations, ce qui explique son caractère χ₃(q) = 4a² - 1."
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